EP // MF (EP là đường trung bình trong ∆BAF) và EP = AF / 2 = MF => MENF là hình bình hành. 
=> MP và EF cắt nhau tại trung điểm I. 
FN // DE và FN = DE / 2 = QE => FQEN là hình bình hành => QN và EF cắt nhau tại trung điểm I 
=> MP và QN cắt nhau tại trung điểm của chúng => MNPQ là hình bình hành 

EP // MF (EP là đường trung bình trong ∆BAF) và EP = AF / 2 = MF => MENF là hình bình hành. 
=> MP và EF cắt nhau tại trung điểm I. 
FN // DE và FN = DE / 2 = QE => FQEN là hình bình hành => QN và EF cắt nhau tại trung điểm I 
=> MP và QN cắt nhau tại trung điểm của chúng => MNPQ là hình bình hành 

Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và MQ=BD/2(1)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và NP=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

hay MQPN là hình bình hành

t cung chưa làm đc đm

Lời giải:
a. 

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$

$\Rightarrow AG\parallel CH$

$AG=\frac{1}{2}AB; CH=\frac{1}{2}CD; AB=CD$ (theo tính chất hbh)

$\Rightarrow AG=CH$

Tứ giác $AGCH$ có $AG=CH$ và $AG\parallel CH$ nên đây là hbh

$\Rightarrow AH=CG$

b.

Hoàn toàn tương tự phần a, ta cm được $BF=DE$ và $BF\parallel DE$ nên $BFDE$ là hình bình hành

$\Rightarrow BE\parallel DF$

c.

Vì $BE\parallel DF$ nên $MN\parallel PQ(1)$

Vì $AGCH$ là hình bình hành nên $AH\parallel CG$

$\Rightarrow MQ\parallel NP(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.

Hình vẽ:

Ta co 
la duong trung binh cua tam giac ABD 
=> MQ//BD, MQ= 0,5BD (1) 
Ta lai co NP la dg trung binh cua tam giac BCD 
=> NP//BD, NP=0,5 BD (2) 
Tu (1) va (2)=> MNPQ la hinh binh hanh 
Ta lai co QP=0,5 AC (vi la dg trung binh) 
ma ABCD la hinh thang can => AC=BD=> MQ=QP 
=>MNQP la hinh thoi